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高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法名师导航学案新人教B版必修5

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3.3 知识梳理 1.一元一次不等式 ax>b 的解集 一元二次不等式及其解法 b }; a b (2)若 a<0,解集为{x|x< }; a (3)若 a=0,b>0 时,解集为 ? ,a=0,b<0 时,解集为 R. (1)若 a>0,解集为{x|x> 2.一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)的解集, 其中 Δ =b -4ac, x1,x2 是方程 ax +bx+c=0(a≠0) 的两个根,且 x1>x2. (1)当 a>0 时,若 Δ >0,解集为{x|x>x1 或 x<x2}; 若 Δ =0,解集为{x|x≠x1,x∈R}; 若 Δ <0,解集为 R. (2)当 a<0 时,若 Δ >0,解集为{x|x2<x<x1};若 Δ =0,解集为 ? ;若 Δ <0,解集为 ? . 2 2 3.一元二次不等式 ax +bx+c>0 恒成立的充要条件是 a>0,Δ <0.一元二次不等式 ax +bx+c <0 恒成立的充要条件是 a<0,Δ <0. 知识导学 一元二次不等式的解集与二次函数的图象、 一元二次方程的根密切相联系, 解一元二次 不等式要从函数、方程、不等式的综合角度来认识,利用数形结合的方法,画出二次函数的 图象, 写出不等式的解集.含有参数的不等式要注意分类讨论.分式不等式、 高次不等式要注 意同解变形,向一次、二次不等式转化. 疑难突破 1.怎样解决含参数的一元二次不等式恒成立问题. 剖析:含参数的不等式恒成立问题中,求参数的取值范围的实质是已知不等式的解集求参数 的取值范围.一般遇到这类问题时,较难找到解题的切入点和突破口,下面介绍解决这类问 题的策略和方法: (1)分离变量法 如果能够将不等式进行同解变形, 将不等式中的变量和参数进行分离, 即使变量和参数 分别位于不等式的左、 右两边, 然后通过求函数值域的方法将问题化归为解关于参数不等式 的问题. 一般地分离变量后有下列几种情形: ①f(x)≥g(k) ? [f(x) ]min≥g(k); ②f(x)>g(k) ? [f(x) ]min>g(k); ③f(x)≤g(k) ? [f(x) ]max≤g(k); ④f(x)<g(k) ? [f(x) ]max<g(k). (2)数形结合 对于含参数的不等式恒成立问题, 当不等式两边的函数图象形状明显时, 可以作出它们 的图象,利用图象运动变化的特点进行转化,化归为某一极端情形如端点、相切等,从而得 到关于参数 k 的不等式. (3)分类讨论法 当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时,应用分类讨论的方法来处理,分 类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件. (4)利用判别式 2 2 2 1 可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题,利用判别式来求解. 以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法, 在具体解题中可能要用到 两种方式或两种以上的方法,应灵活处理. 2.怎样解已知含有参数的二次不等式或者方程的解,求另一与此有关的方程或者不等式问 题. 剖析:在解决与已知变量相关的二次不等式(或方程)问题时可以从以下几个方面考虑: (1) 利用二次方程根与系数的关系(韦达定理):它在解决二次方程相关系数问题时可以起到 桥梁的作用,可以沟通已知和待求问题之间的联系.所以,在利用代数方法求解此类问题时首 先可以考虑此法. (2) 利用二次函数的图象(数形结合):有些方程或不等式问题用纯代数式运算比较麻烦或者 计算量较大,可以考虑该问题与二次函数的关系,根据条件设出对应的二次函数,画出二次函 数的图形,由图形(主要是二次函数与 x 轴的交点)情况判断待求问题的解,也可以根据图形 直接解不等式(尤其是含有参数或者绝对值的不等式). (3) 分解因式法:有些虽然不是二次方程或者不等式,或变量的系数含有字母,但是却能进行 因式分解,这样可以先考虑因式分解,把已知或者待求式子先进行因式分解找出作为方程的 解,再对解的情况进行讨论即可. 2


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