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2016年石家庄市高三毕业班质检二文科数学答案

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2015-2016 质检二数学(文科)答案
一、选择题 1-5CCCAB 二、填空题 13 15 15 13 三、解答题 17 解: (Ⅰ) 2b cos C ? c ? 2a , 由正弦定理,得 2 sin B cos C ? sin C ? 2 sin A ,------------2 分 14 -1 16 6-10CBDCD 11-12 AB

? ?2,0? ? ?2, ???

? A? B ?C ??

?sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cos B sin C …………………4 分 2 sin B cosC ? sin C ? 2(sin B cosC ? cos B sin C )
sin C ? 2 cos B sin C
因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 , 所以 cos

B?

1 , 2
? ?
3 3
.------------6 分 , cos A ?

因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? (Ⅱ)三角形 ABC 中, B ? 所以 sin A ?

1 , 7

4 3 , -------------8 分 7 5 3 …………………10 分 14

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
c sin ?ACB 5 ? ? .------------12 分 a sin ?BAC 8
18.解:(Ⅰ) x ? 3 , y ? 5

,…………………2 分

?x
i ?1

5

i

? 15


?y
i ?1

5

i

? 25


?x y
i ?1 i

5

i

? 62.7

?x
i ?1

5

2

i

? 55
, ………………4 分

? ? ?1.23 , a ? ? 8.69 解得: b

? ? 8.69 ? 1.23x .…………………6 分 所以: y
(Ⅱ)年利润 z ? x(8.69 ? 1.23x) ? 2 x …………………8 分

? ?1.23x2 ? 6.69 x …………………10 分
所以 x ? 2.72 时,年利润 最大.…………………12 分
19 解: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O , 因为底面 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD 且 O 为 BD 的中点. 又 PA ? BD, PA ? AC ? A, 所以 BD ? 平面 PAC , 由于 PO ? 平面 PAC ,故 BD ? PO . 又 BO ? DO ,故 PB ? PD . -------------2 分 ---------------4 分

(Ⅱ)设 PD 的中点为 Q ,连接 AQ, EQ , EQ ∥ = CD , 所以 AFEQ 为平行四边形, EF ∥ AQ , 因为 EF ? 平面 PCD , 所以 AQ ? 平面 PCD ,所以 AQ ? PD , PD 的中点为 Q , 所以 AP ? AD ?

1 2

2 . ---------------6 分

由 AQ ? 平面 PCD ,又可得 AQ ? CD , 又 AD ? CD ,又 AQ ? AD ? A 所以 CD ? 平面 PAD 所以 CD ? PA ,又 BD ? PA , 所以 PA ? 平面 ABCD ---------------8 分 (注意:没有证明出 PA ? 平面 ABCD ,直接运用这一结论的,后续过程不给分)

VD ? ACE ? VE ? ACD 1 1 ? ? PA ? S ?ACD 3 2

………………………10 分

1 1 1 ? ? ? 2? ? 2? 2 3 2 2 ? 2 6

故三棱锥 D-ACE 的体积为

2 .……………………12 分 6

20 解:(Ⅰ)由已知: e ?

2 c 2 ,? ? ,……………2 分 2 a 2

又当直线垂直于 x 轴时, AB ? 代入椭圆:

2 ,所以椭圆过点 (1,

2 ), 2

1 1 ? 2 ? 1, 2 a 2b

2 2 2 在椭圆中知: a ? b ? c ,联立方程组可得: a2 ? 2, b2 ? 1 ,

所以椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1.……………………4 分 2

(Ⅱ)当过点 M 直线斜率为 0 时,点 A 、 B 分别为椭圆长轴的端点,

??

| PA | 2 ?1 | PA | 2 ?1 1 ? ? 3? 2 2 ? 2 或 ? ? ? ? 3 ? 2 2 ? ,不合题意. | PB | | PB | 2 2 ?1 2 ?1

所以直线的斜率不能为 0.…………………………(没有此步骤,可扣 1 分) 可设直线方程为: x ? my ? 1 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 将直线方程代入椭圆得:

(m2 ? 2) y 2 ? 2my ?1 ? 0 ,由韦达定理可得:
2m ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? m ?2 ? ?y y ? ? 1 ? 1 2 m2 ? 2 ? (1)
,……………………6 分

(2)

将(1)式平方除以(2)式可得: 由已知 MA ? ? MB 可知,

y1 ? ?? , y2

y1 y2 4m2 , ? ?2?? 2 y2 y1 m ?2

所以 ?? ?

1

?

?2??

4m 2 ,……………………8 分 m2 ? 2
1 ? 1 ? ? ?

又知 ? ? ? , 2 ? ,??? ? ? 2 ? ? ? , 0 ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

1 4m 2 ? 2? ?? ? ? 2 ? 0 ,解得: m2 ? ?0, ? .……………………10 分 2 m ?2 ? 7?
AB ? (1 ? m 2 ) y1 ? y2
2 2

2 ? (1 ? m 2 ) ? ?( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ? ? 8(

m2 ? 1 2 1 2 ) ? 8(1 ? 2 ) 2 m ?2 m ?2

1 ? 2? ? 7 1? ? m2 ? ?0, ? ,? 2 ?? , ?, m ? 2 ?16 2 ? ? 7?
? 9 2? ? AB ? ? 2, ? .…………………12 分 8 ? ?
21 解:
(Ⅰ)当 a ? 0 时, f ? x ? ? ?

x2 ( x ? 0) ex ,

f ?? x? ?

?2 x ? e x ? (? x 2 ) ? e x x( x ? 2) ? (e x )2 ex
…………………2 分

令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 2 则 x ? (0, 2), f ? ? x ? ? 0 , y ? f ? x ? 单调递减

x ? (2, ??), f ? ? x ? ? 0 , y ? f ? x ? 单调递增
所以 x ? 2 是函数的一个极小值点,无极大值点。…………………4 分 (Ⅱ)令 f ? x ? ? a x ?

x2 ? 0, 则 x 2 ? ae x x e

3

因为函数有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 )
3 3

所以 x12 = ae x1 , x22 = ae x2 ,可得

3 3 ln x1 = ln a + x1 , ln x2 = ln a + x2 . 2 2
…………………6 分

故 x2 - x1 =

3 3 3 x ln x2 - ln x1 = ln 2 . 2 2 2 x1

3 3 ì x2 = tx1 , ? ln t t ln t ? x2 ? 2 2 t > 1 设 ,且 í 解得 x1 = , x2 = . = t ,则 3 ? x1 t- 1 t- 1 x2 - x1 = ln t , ? ? 2 ?
所以: x1 + x2 =

3 (t + 1)ln t . 2 t- 1
, x ? (1, ?



…………………8 分

令 h ( x) =

( x + 1)ln x
x- 1

),

则 h? ( x) =

- 2ln x + x -

( x - 1)

2

1 x.
2

…………………10 分

1 令 u ( x ) = - 2ln x + x ,得 u ? ( x) = x
当 x ? (1, ?

骣 x - 1÷ ? ÷. ? ? 桫x ÷

) 时, u? (x) > 0 .因此, u (x)在 (1, + ? ) 上单调递增, ) , u(x) > u(1) = 0 , ) 上单调递增.
…………………12 分

故对于任意的 x ? (1, ?

由此可得 h? (x)> 0 ,故 h(x)在 (1, + ?

因此,由①可得 x1 + x2 随着 t 的增大而增大. 选做题 22. 证明 (Ⅰ)∵PA 交圆 O 于 B,A PC 交圆 O 于 C,D, ? PD?PC ? PB?PA ………………2 分

PD?PC ? ? PO ? r ?? PO ? r ? …………………3 分
8 ? 9 ? 92 ? r 2 r2 ? 9 r ?3
---------------5 分 (Ⅱ)连接 EO CO ∵? AE = ? AC ∴ ?EOA ? ?COA

?EOA ? ?COA ∵ ?EOC ? 2?EDC ∴ ?EDC ? ?AOC ∴ ?COP ? ?FDP …………………7 分
?P ? ? P ?PDF ? ?POC ---------------9 分

? PF ?PO ? PD?PC PD?PC ? PB?PA
? PF ?PO ? PA?PB ---------------10 分
23. 解析:(Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,…………………2 分

? 2 ? 4? sin ? ? 2? cos? ,…………………3 分
曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 .………………5 分

? 2 t ?x ? ? 2 2 2 (Ⅱ)将直线的参数方程 ? ( t 为参数)代入曲线 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ,得 ? y ? 3+ 2 t ? ? 2
到: t ? 2 2t ? 3 ? 0 ,…………7 分
2

t1t2 ? ?3 ,…………………9 分

PA PB ? t1t2 ? 3 .………………10 分
24. 解:(Ⅰ)显然 a ? 0 ,…………………1 分

1 3 1 3 , ] , ? ? ?6, ? 2 ,无解;……………………3 分 a a a a 3 1 1 3 1 当 a ? 0 时,解集为 [ , ? ] ,令 ? ? 2, ? ?6 , a ? ? , a a a a 2 1 综上所述, a ? ? .……………………5 分 2
当 a ? 0 时,解集为 [? (Ⅱ) 当 a ? 2 时,令 h (x ) ? f (2x ?1) ? f (x ?1) ? 4x ?1 ? 2x ? 3

1 ? ??2 x ? 4, x ? ? 4 ? 1 3 ? ? ?6 x ? 2, ? ? x ? 4 2 ? 3 ? ?2 x ? 4, x ? 2 ?
………………7 分 由此可知,h ( x ) 在 (??, ? ) 单调减, 在 (? 时, h ( x ) 取到最小值

1 4

1 3 3 1 , ) 单调增, 在 ( , ??) 单调增, 则当 x ? ? 4 2 2 4

?

7 ,………………8 分 2

由题意知, ?

7 7? ? ? 7 ? 3m ,则实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ……………10 分 2 2? ?



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